Question

（本小題滿分13分）如圖6，正方形所在平面與圓所在平面相交于，

線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，

垂足是圓上異于、的點，

，圓的直徑為9．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的平面角的正切值．

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1)略

(2)

【解析】（1）證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．∵平面，

∴平面平面． …………4分

（2）解法1：∵平面，平面，

∴．

過點作于點，作交于點，連結，

由于平面，平面，

∴．∵，∴平面．

∵平面，∴．

∵，，∴平面．

∵平面，∴．

∴是二面角的平面角．

在△中，，，，

∵，∴．

在△中，，

∴．故二面角的平面角的正切值為． …………13分

解法2：∵平面，平面，

∴．∴為圓的直徑，即． 設正方形的邊長為，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．∴．

設平面的法向量為，

則即

取，則是平面的一個法向量．

∵，

∴．∴．故二面角的平面角的正切值為．