Question

（本小題滿分12分）
已知半圓，動圓與此半圓相切且與軸相切。
（1）求動圓圓心的軌跡，并畫出其軌跡圖形；
（2）是否存在斜率為的直線，它與（1）中所得軌跡的曲線由左到右順次交于A、B、C、D四點，且滿足。若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）動圓圓心的軌跡方程為及
（2）這樣的直線不存在

（1）設動圓圓心為，做軸交軸于N。 1分
若兩圓外切，，
所以，
化簡得   3分
若兩圓內切，，
所以，
化簡得   4分
綜上，動圓圓心的軌跡方程為
及，
其圖象是兩條拋物線位于軸上方的部分，作簡圖如圖：   6分

（2）設直線存在其方程可設為，
依題意，它與曲線交于A，D，
與曲線交于B，C   7分
由
得及   9分

     10分

即   11分
解得，
將代入方程
得
因為曲線中橫坐標范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞），
所以這樣的直線不存在    12分