Question

（2013•蘭州一模）已知動點P到兩定點A、B的距離和為8，且|AB|=4

3

，線段AB的中點為O，過點O的所有直線與點P的軌跡相交而形成的線段中，長度為整數的有（　　）

A．5條

B．6條

C．7條

D．8條

Answer 1

分析：根據題意，P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，得到它的方程為

x2

16

+

y2

4

=1．根據橢圓的幾何性質，過點O的所有直線與點P的軌跡相交而形成的線段，其長度介于2b與2a之間，由此即可算出長度為整數的條數．

解答：解：∵|AB|=4

3

＜8，動點P到兩定點A、B的距離和為8，
∴P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，得
2a=8，2c=4

3

，可得b=

a2-c2

=2
∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

4

=1
因此，過點O的所有直線與點P的軌跡相交而形成的線段，
其長度l∈[2b，2a]，即l∈[4，8]，
長度為整數的有4、5、6、7、8，由橢圓的對稱性，可得長度為5、6、7的各有兩條，
他要4、8的各一條，總共有8條
故選：D

點評：本題給出動點的軌跡．求滿足條件的線段條數．著重考查了橢圓的定義、標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．