Question

已知點A(

3

，-1)，B(cosθ，sinθ)，其中θ∈[0，π]，則|

AB

|的最大值為

 

．

Answer 1

分析：先用坐標表示出|

AB

|，由于其表達式是一個三角形式，利用三角恒等變換公式進行化簡，再根據所給的角的取值范圍以及正弦函數的單調性求最大值即可．

解答：解：由題意

AB

=(cosθ-

3?

，sinθ+1)
故|

AB

|²=(cosθ-

3?

)2+（sinθ+1）²=5-2

3

cosθ+2sinθ=5+4（

1

2

sinθ-

3?

2

cosθ）=5+4sin（θ-

π

3

）
由于θ∈[0，π]，故θ-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，sin（θ-

π

3

）∈[-

3?

2

，1]
故5+4sin（θ-

π

3

）≤9，即|

AB

|≤9，則|

AB

|的最大值為3
故答案為3

點評：本題考查求向量的模，平方法求模是常用的技巧，解本題的關鍵是對模的三角表達式進行化簡，以及利用三角函數的單調性求最值，本題容易因為三角恒等變換公式記憶不準而出錯，三角函數的恒等變換關鍵是熟練記憶公式．