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【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長為4的正方形，平面平面，，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）在線段是否存在點，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）.（2）存在，值為

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，利用平面的法向量和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（2）首先利用求得點的坐標，由求得的值.

（1）因為為正方形，所以.

因為平面ABC⊥平面，且垂直于這兩個平面的交線，所以平面.由題知，，，所以.如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則，即，

令，則，，所以.

同理可得，平面的法向量為，所以.由題知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

（2）存在.設是直線上一點，且.所以.解得，，.

所以.

由，即.解得.

因為，所以在線段上存在點，

使得.此時，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分14分）已知過原點的動直線與圓 相交于不同的兩點，．

（1）求圓的圓心坐標；

（2）求線段的中點的軌跡的方程；

（3）是否存在實數，使得直線 與曲線只有一個交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且asin B＝－bsin.

(1)求A；

(2)若△ABC的面積S＝c2，求sin C的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）求函數的最小正周期；

（2）求函數的單調遞增區間；

（3）若把向右平移個單位得到函數，求在區間上的最小值和最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．

（Ⅰ）若直線PB與CD所成角的大小為，求BC的長；

（Ⅱ）求二面角B－PD－A的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】從、、、這個數中一次隨機地取個數，記所取的這個數的和為，則下列說法錯誤的是（ ）

A.事件“”的概率為

B.事件“”的概率為

C.事件“”與事件“”為互斥事件

D.事件“”與事件“”互為對立事件

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】稱直角坐標系中縱橫坐標均為整數的 點為“格點”，稱一格點沿坐標線到原點的最短路程為該點到原點的“格點距離”，格點距離為定值的點的軌跡稱為“格點圓”，該定值稱為格點圓的半徑，而每一條最短路程稱為一條半徑．當格點半徑為2005時，格點圓的半徑有________條．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某網紅直播平臺為確定下一季度的廣告投入計劃，收集了近6個月廣告投入量（單位：萬元）和收益（單位：萬元）的數據如下表：

月份

1

2

3

4

5

6

廣告投入量/萬元

2

4

6

8

10

12

收益/萬元

14.21

20.31

31.8

31.18

37.83

44.67

用兩種模型①，②分別進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統計量的值：

7

30

1464.24

364

（1）根據殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由.

（2）殘差絕對值大于2的數據被認為是異常數據，需要剔除：

(i)剔除的異常數據是哪一組？

(ii)剔除異常數據后，求出（1）中所選模型的回歸方程；

(iii)廣告投入量時，(ii)中所得模型收益的預報值是多少？

附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為，防洪堤高記為（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側面的水泥用料最省，則斷面的外周長（）要最�。�

（1）用表示、；

（2）將表示成的函數，如限制在范圍內，最小為多少米？并說明理由．

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