Question

【題目】已知一列非零向量滿足：，，其中是正數

（1）求數列的通項公式；

（2）求證：當時，向量與的夾角為定值；

（3）當時，把中所有與共線的向量按原來的順序排成一列，記為，令，為坐標原點，求點列的極限點的坐標.（注：若點坐標為，且，則稱點為點列的極限點）

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值；見解析　（3）

【解析】

（1）根據向量的模長公式得到,由已知可得,進而求得的通項公式；

（2）利用數量積求解夾角即可證明；

（3）由（2）可知,即每隔3個向量的兩個向量共線,且方向相反,則,所以,整理可得,將的坐標代回分別求解,,進而求得極限即可

（1）由題,為正數,

所以,

因為,

則是首項為,公比為的等比數列,

所以

（2）證明：因為當時,,

所以,

,

則夾角為是定值

（3）由（2）可知,

所以每隔3個向量的兩個向量共線,且方向相反,

所以與向量共線的向量為：,

記的單位向量為,則,

則,

所以當時,

設,

則,

,

則,,

所以點列的極限點的坐標為