Question

已知橢圓C₁的方程是，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，C₂的左、右頂點分別為C₁的左、右焦點．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A，B，且（O為原點），求k的取值范圍；
（3）設P₁，P₂分別是C₂的兩條漸近線上的點，點M在C₂上，且，求△P₁OP₂的面積．

Answer 1

解：（1）∵橢圓C₁的方程是，
∴a=2，b=1，c=，
∴雙曲線C₂的方程為．
（2）直線y=kx+，雙曲線兩個方程聯立，并化簡，得：
（1-3k²）x²-6kx-9=0，
∵直線y=kx+與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A和B
∴△=（-6k）²-4×（1-3k²）×（-9）＞0
即k²+1＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有x₁+x₂=，，
∴
=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+2
=．
∵，
∴-＜k＜，
故k的范圍為：-＜k＜．
（3）C₂漸近線為，設，且p₂＞0，p₁＜0，
∴P₁P₂的方程為，
令y=0，解得P₁P₂與x軸的交點為N（，0），
∴
=-2．
∵=
=[]
∴p₁p₂=1，
∴△P₁OP₂的面積S=2．
分析：（1）由橢圓C₁的方程是，知a=2，b=1，c=，由此能求出雙曲線C₂的方程．
（2）由直線y=kx+，雙曲線兩個方程聯立，得（1-3k²）x²-6kx-9=0．由直線y=kx+與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A和B，得k²+1＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=，，=．由，能求出k的范圍．
（3）C₂漸近線為，設，且p₂＞0，p₁＜0，P₁P₂的方程為，令y=0，解得P₁P₂與x軸的交點為N（，0），由此能求出△P₁OP₂的面積．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．