Question

設函數f（x）=a^x+b同時滿足條件f（0）=2和對任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=

1，x∈[0，1] f(log2x)-4，x∈(1，+∞)

，求使得g[g（x）]=1成立的整數x的取值的集合．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=2及f（x+1）=2f（x）-1恒成立，可以構造方程組可求出a，b值，進而得到f（x）的解析式；
（2）根據（1）及對數運算性質可得g（x）=

1，x∈[0，1] x-3，x∈(1，+∞)

，由g[g（x）]=1分類討論，結合x為整數，可得答案．

解答：解：（1）由f（0）=2得1+b=2，
解得b=1
∴f（x）=a^x+1
∵對任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1
∴a^x+1+1=2a^x+1
∴a=2
∴f（x）=2^x+1…（4分）
（2）由（1）知f（log₂x）=2log2x+1=x+1，
故g（x）=

1，x∈[0，1] x-3，x∈(1，+∞)

，…（5分）
∵g[g（x）]=1
∴0≤g（x）≤1或g（x）=4
∴0≤x≤1或0≤x-3≤1或x-3=4
∴0≤x≤1或3≤x≤4或x=7，
又∵x為整數，
故所求整數x的取值的集合為{0，1，3，4，7}．…（9分）

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質的綜合應用，其中根據已知求出函數的解析式是解答的關鍵．