Question

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 或．

【解析】試題分析:(1) 設橢圓的方程為： ，根據已知點和離心率列方程解出a,b,求出橢圓的方程;(2) 由已知直線過左焦點, 當直線與軸垂直時，經檢驗不合題意; 當直線與軸不垂直時，設直線的方程為： ,與橢圓方程聯立,消去y,得出關于x的一元二次方程,寫出韋達定理,根據面積公式求出k的值,可得直線方程.

試題解析:

（1）設橢圓的方程為： ，

由已知： 得： ， ，

所以，橢圓的方程為： .

（2）由已知直線過左焦點．

①當直線與軸垂直時， ， ，此時，

則，不滿足條件．

②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為：

由　得

所以， ，

而，

由已知得，

所以，則，所以，

所以直線的方程為： 或．

點睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．