Question

把正方形以邊所在直線為軸旋轉到正方形，其中分別為的中點.

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）、（2）見解析；（3）.

【解析】本試題主要是考查了空間立體幾何中，線面平行的判定和線面垂直的判定以及運用空間向量法，或者幾何法求解二面角的綜合試題。熟練掌握線面平行和垂直度判定定理和性質定理，是解決該試題的關鍵。另外求解二面角的思路一般可以借助于三垂線定理來完成。

解：（1）設的中點為,連接

∵是的中點∴∥且          ……………(2分)

∵是的中點∴∥且，∴∥且

∴是平行四邊形，∴∥     

∵平面,平面，∴∥平面    ……………(4分)

（2）  ∵ 為等腰直角三角形， ,且是的中點 

 ∴  ∵平面平面  ∴ 平面 

∴                                          ………………(6分)

設，則在中，，

則，  ∴ 

 ∴ 是直角三角形，∴

∵   ∴平面…（8分）

（3）分別以為軸建立空間直角坐標系如圖，

設，則設,………(9分)

∵平面，∴ 面的法向量為= ……………(10分)

設平面的法向量為，∵  ,     

∴,   ， ∴, 

不妨設，可得                         ………………（11分）

，∴ =

∵ 二面角是銳角，∴ 二面角的大小..........（12分）