【題目】如圖，直四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，
，
，
分別是
，
，
的中點.
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）過
作
，證明
，再證明
，可得
，再由線面平行的判定可得
平面
；
（2）以
為坐標原點，以垂直于
得直線為
軸，以所在直線為
軸，以
所在直線為
軸建立空間直角坐標系，分別求出平面
與平面
的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角
的正弦值.
（1）如圖，過作，則
，且
，
又
，
，
四邊形
為平行四邊形，則，
由，為
中點，得
為
中點，而
為
中點，
，
，則四邊形
為平行四邊形，則，
，
平面，
平面，
平面；
（2）以為坐標原點，以垂直于得直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
設平面的一個法向量為
，
由
，取
，得
，
又平面MAA1的一個法向量為
，
.
二面角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知焦點在x軸上的橢圓
有一個內含圓x2＋y2=
，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M，N，且
(O為原點).
（1）求b的值；
（2）設內含圓的任意切線l交橢圓于點A、B.求證：
，并求|AB|的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的個數是（ ）
①設某大學的女生體重
與身高
具有線性相關關系，根據一組樣本數據
，用最小二乘法建立的線性回歸方程為
，則若該大學某女生身高增加
，則其體重約增加
；
②關于
的方程
的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③過定圓
上一定點
作圓的動弦
，
為原點，若
，則動點
的軌跡為橢圓；
④已知
是橢圓
的左焦點，設動點在橢圓上，若直線
的斜率大于
，則直線
（為原點）的斜率的取值范圍是
.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系內，已知點
，圓
的方程為
，點
是圓上任意一點，線段
的垂直平分線
和直線
相交于點
.
（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程；
（2）過點
能否作一條直線
，與點的軌跡交于
兩點，且點
為線段
的中點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系（
），點
為曲線上的動點，點
在線段
的延長線上，且滿足
，點的軌跡為
。
（Ⅰ）求
的極坐標方程；
（Ⅱ）設點
的極坐標為
，求
面積的最小值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產品的宣傳費用，需了解年宣傳費
（單位：萬元）對年銷量
（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響對近6年宣傳費
和年銷量
的數據做了初步統計，得到如下數據：
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣傳費 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年銷售量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
經電腦模擬，發現年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關系式
，兩邊取對數，即
，令
，即
對上述數據作了初步處理，得到相關的值如下表：
|
|
|
|
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
（1）從表中所給出的6年年銷售量數據中任選2年做年銷售量的調研，求所選數據中至多有一年年銷售量低于21噸的概率．
（2）根據所給數據，求關于的回歸方程；
（3）若生產該產品的固定成本為200（萬元），且每生產1（噸）產品的生產成本為20（萬元）（總成本=固定成本+生產成本+年宣傳費），銷售收入為
（萬元），假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），2019年該公司計劃投入108萬元宣傳費，你認為該決策合理嗎？請說明理由．（其中
為自然對數的底數，
）
附：對于一組數據
，其回歸直線
中的斜率和截距的最小二乘估計分別為
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