Question

【題目】某中學有初中學生1800人，高中學生1200人.為了解學生本學期課外閱讀時間，現采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統計了他們課外閱讀時間，然后按“初中學生”和“高中學生”分為兩組，再將每組學生的閱讀時間（單位：小時）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統計，得到如下圖所示的頻率分布直方圖.

（I）寫出a的值；

（II）試估計該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數；

（III）從閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，并用X表示其中初中生的人數，求X的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（I）.a=0.03.（II）.870人.

（III）所以X的分布列為：

X	1	2	3
P

E（X）=.

【解析】試題分析：（1）根據各矩形面積之和為 ，可求得 的值；（2）先根據直方圖算出初中生中，閱讀時間不小于個小時的學生頻率以及高中生中，閱讀時間不小于個小時的學生頻率，結合總人數可估計該校所有學生中，閱讀時間不小于個小時的學生人數；（3）的可能取值，利用組合知識結合古典概型概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數學期望.

試題解析：（I）.a=0.03.

（II）由分層抽樣，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.

因為初中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生頻率為（0.02+0.005）×10=0.25，

所以所有的初中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生約有0.25×1800=450人，

同理，高中生中，閱讀時間不小于30個小時的學生頻率為（0.03+0.005）×10=0.35，學生人數約有0.35×1200=420人.

所以該校所有學生中，閱讀時間不小于30個小時的學生人數約有450+420=870人.

（III）.初中生中，閱讀時間不足10個小時的學生頻率為0.005×10=0.05，樣本人數為0.05×60=3人.

同理，高中生中，閱讀時間不足10個小時的學生樣本人數為（0.005×10）×40=2人.

故X的可能取值為l，2，3.

則P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.

所以X的分布列為：

X	1	2	3
P

所以E（X）=1×+2×+3×=.