Question

已知數列{a_n}是首項與公比均為

1

3

的等比數列，數列{b_n}的前n項和Bn=

1

2

(n2+n)，n∈N*．
（1）求數列{a_n}與數列{b_n}的通項公式；
（2）設{a_nb_n}的前n項和為S_n，求證：

1

3

≤Sn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）已知數列{a_n}是首項與公比均為

1

3

的等比數列，可以求出a_n的通項公式，利用公式bn=B_n-B_n-1，可以求出b_n的通項公式；
（2）已知a_n，b_n的通項公式可得anbn=

n

3n

，可以利用錯位相減法求出其前n項和S_n，再進行放縮證明；

解答：解：（1）由{a_n}是首項與公比均為

1

3

的等比數列，得an=

1

3

•(

1

3

)n-1=

1

3n

在數列{b_n}中，Bn=

1

2

(n2+n)，
當n=1時，b₁=B₁=1，
當n≥2時，b_n=B_n-B_n-1=

1

2

(n2+n)-

1

2

[(n-1)2+(n-1)]=n，
即b_n=n，
∴an=

1

3n

，bn=n，n∈N*
（2）由（1）知，anbn=

n

3n

，
∴Sn=

1

3

+

2

3n

+…+

n

3n

，①
∴

1

3

Sn=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

，②
①-②得，

2

3

Sn=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

=

1

2

-

1

2×3n

-

n

3n+1

，
∴S n=

3

4

-

2n+3

4×3n

，
由n∈N*知

2n+3

4×3n

＞0，
∴Sn=

3

4

-

2n+3

4×3n

＜

3

4

．Sn+1-Sn=

3

4

-

2(n+1)+3

4×3n+1

-

3

4

+

2n+3

4×3n+1

＞0，
∴S_n+1＞S_n，
∴S_n的最小值為S1=

1

3

，
∴

1

3

≤Sn＜

3

4

．

點評：此題主要考查數列與不等式的綜合，解題過程中用到了錯位相減法，這也是高考常用的方法，是一道中檔題；