Question

設函數f（x）在（-3，3）上是奇函數，且對任意x，y，都有f（x）-f（y）=f（x-y），當x＜0時，f（x）＞0，f（1）=-2．
（1）求f（2）的值；
（2）若函數g（x）=f（x-1）+f（3-2x），求不等式g（x）≤0的解集．

Answer 1

分析：（1）利用已知f（1）=-2，將恒等式進行賦值，令x=2，y=1，代入即可求得f（2）的值；
（2）根據單調性的定義和恒等式證明函數f（x）為（-3，3）上的單調減函數，再將不等式利用恒等式和奇函數轉化為f（x-1）≤f（2x-3），然后利用f（x）在（-3，3）上單調遞減，列出不等式組，求之即可解得不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（x）-f（y）=f（x-y），
令x=2，y=1，則f（2）-f（1）=f（1），又f（1）=-2，
∴f（2）=2f（1）=-4；
（2）設-3＜x₁＜x₂＜3，則x₁-x₂＜0，
∵x＜0時，f（x）＞0，則f（x₁-x₂）＞0，
∵f（x）-f（y）=f（x-y），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-3，3）上是單調遞減函數．
∵g（x）=f（x-1）+f（3-2x），
∴g（x）≤0，即f（x-1）+f（3-2x）≤0，即f（x-1）≤-f（3-2x），
又∵f（x）在（-3，3）上是奇函數，則-f（3-2x）=f（2x-3），
∴不等式等價轉化為f（x-1）≤f（2x-3），
又∵f（x）在（-3，3）上是單調遞減函數，
∴

-3＜x-1＜3 -3＜3-2x＜3 x-1≥2x-3

，解得，0＜x≤2，
∴不等式g（x）≤0的解集為{x|0＜x≤2}．

點評：本題考點是抽象函數及其應用，以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，考查了利用函數的單調性求解函數的不等式的解集，注意轉化不等式的時候要等價轉化．此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，能從所給的條件中尋找到解題的關鍵點．屬于中檔題．