Question

（本題滿分14分）

       設函數

   （I）若的極值點，求實數；

   （II）求實數的取值范圍，使得對任意的，恒有成立，注：為自然對數的底數。

Answer 1

本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數應用，不等式等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論分析問題和解決問題的能力。滿分14分。

   （I）解：求導得

因為的極值點，

所以

解得經檢驗，符合題意，

所以

（II）解：①當時，對于任意的實數a，恒有成立；

②當時，由題意，首先有，

解得，

由（I）知

令

且

又內單調遞增

所以函數內有唯一零點，

記此零點為

從而，當時，

當

當時，

即內單調遞增，在內單調遞減，

在內單調遞增。

所以要使恒成立，只要

成立。

由，知

             （3）

將（3）代入（1）得

又，注意到函數內單調遞增，

故。

再由（3）以及函數內單調遞增，可得

由（2）解得，

所以

綜上，a的取值范圍是