Question

已知函數,.
(Ⅰ)若函數的圖象與軸無交點，求的取值范圍；
(Ⅱ)若函數在上存在零點，求的取值范圍；
(Ⅲ)設函數，.當時，若對任意的，總存在，使得，求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)或.

解析試題分析：(Ⅰ)函數的圖像與軸無交點，那么函數對應的方程的判別式，解不等式即可；(Ⅱ)先判斷函數在閉區間的單調性，然后根據零點存在性定理，可知，解方程組求得同時滿足兩個表達式的的取值范圍；(Ⅲ)若對任意的，總存在，使，只需函數的值域為函數值域的子集即可.先求出函數在區間上的值域是，然后判斷函數的值域.分，，三種情況進行分類討論，當時，函數是一次函數，最值在兩個區間端點處取得，所以假設其值域是，那么就有成立，解相應的不等式組即可.
試題解析：(Ⅰ)若函數的圖象與軸無交點，則方程的判別式，
即，解得.                            3分
(Ⅱ)的對稱軸是，所以在上是減函數，在上存在零點，則必有：
，即，
解得：，故實數的取值范圍為；                 8分
(Ⅲ)若對任意的，總存在，使，只需函數的值域為函數值域的子集.當時，的對稱軸是，所以的值域為， 下面求，的值域，
①當時，，不合題意，舍；
②當時，的值域為，只需要：
，解得；
③當時，的值域為，只需要：
，解得；
綜上：實數的取值范圍或.                                14分
考點：1.方程根的個數與判別式的關系；2.零點存在性定理；3.二次函數在閉區間上的值域；4.一次函數的單調性；5.二次函數的圖像與性質