Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間和零點；

（2）若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間：；單調遞增區間：；零點為：（2）

【解析】

（1）求導根據導函數正負得到單調區間；令，再結合單調性可知唯一零點為；（2）將不等式轉化為圖像恒在上方，利用臨界狀態，即直線與相切的情況，求得相切時；從而可構造出，利用導數求得，由此可得取值范圍.

（1）

令，解得：

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增

單調遞減區間為，單調遞增區間為

令，解得：

所以函數的零點是

（2）畫出的大致圖像，如圖所示

設，則的圖像恒過點

設函數的圖像在點處的切線過點

所以，

的圖像在處的切線方程為

將代入切線方程，得

整理得：

設

令，得或

所以在，上單調遞增，在上單調遞減

又，，

所以是方程的唯一解

所以過點且與的圖像相切的直線方程為

令，則

當時，；當時，

又，即在上恒成立

即函數的圖像恒在其切線的上方

數形結合可知，的取值范圍