Question

設f(x)＝ax²＋bx＋c，若，問是否存在a、b、c∈R，使得不等式x²＋≤f(x)≤2x²＋2x＋對一切實數x都成立？證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：由，得a＋b＋c＝．令x2＋＝2x2＋2x＋xx＝－1．由f(x)≤2x2＋2x＋，推得f(－1)≤．由f(x)≥x2＋，推得f(－1)≥．∴f(－1)＝． 　　∴a－b＋c＝． 　　故2(a＋c)＝5，a＋c＝且b＝1． 　　∴f(x)＝ax2＋x＋(－a)． 　　依題意，知ax2＋x＋(－a)≥x2＋對一切x∈R成立， 　　∴a≠1且Δ＝1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0． 　　∴．∴f(x)＝x2＋x＋1． 　　易驗證x2＋x＋1≤2x2＋2x＋對x∈R都成立． 　　∴存在實數，b＝1，c＝1，使得不等式x2＋≤f(x)≤2x2＋2x＋對一切x∈R都成立． 　　思路分析：本題主要應用判別式法解決二次函數恒成立問題，同時盡量尋找等量關系減少變量的個數．