Question

【題目】一些選手參加數學競賽，其中有些選手互相認識，有些選手互相不認識，而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人．若與認識，但沒有共同的熟人，求證：、認識的熟人一樣多．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

用點表示人，兩人互相認識就在相應兩點間連一條線段，依題意間有連線（如圖）．

由于、沒有共同的熟人，故凡認識的人就不認識，凡認識的人就不認識．

現設，，…，與認識，，，…，與認識，由于任一與不認識，而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人，故與有且僅有一個共同的熟人．

反之，每一個與有且僅有一個共同的熟人．

亦即每一必與某一有連線，每一也必與某一有連線．

現設與認識，與認識，下面證明與不相同時，與也不相同．

若不然，與重合，則、與均有連線，從而互不認識的，共同認識3個人，，（如圖），與已知條件“恰有兩個共同的熟人”矛盾，可見，．

同理，，不相同時，其對應的，也不相同，又得．

從而．這表明、認識的熟人一樣多．