Question

已知函數，，函數的圖像在點處的切線平行于軸．
（1）求的值；
（2）求函數的極小值；
（3）設斜率為的直線與函數的圖象交于兩點，（）,證明：．

Answer 1

(1) ；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題考查函數與導數及運用導數求切線方程、單調區間、最值等數學知識和方法，突出考查綜合運用數學知識和方法分析問題解決問題的能力.第一問，對求導，將代入得到切線的斜率，由已知得，即，所以；第二問，利用第一問的結論得到的解析式，對求導，判斷函數的單調性和極值；第三問，先用分析法得出與結論等價的式子，即，先證不等式的右邊，構造函數，通過求導數判斷函數的單調性，求出最大值，所以，即，再證不等式的左邊，同樣構造函數，通過求導，求出最小值，即，即，綜合上述兩部分的證明可得.
試題解析：（1）依題意得，則
由函數的圖象在點處的切線平行于軸得：
∴ .
（2）由（1）得 
∵函數的定義域為，令得或
函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．故函數的極小值為
（3）證法一：依題意得，
要證，即證
因，即證 
令（），即證（）
令（）則
∴在（1，+）上單調遞減，
∴ 即，                 ①
令（）則
∴在（1，+）上單調遞增，
∴=0，即（）                 ②
綜①②得（），即．
【證法二：依題意得，
令則
由得，當時，，當時，，
在單調遞增，在單調遞減，又
即