Question

【題目】已知數列的前項和為，，是6與的等差中項.

（1）求數列的通項公式；

（2）是否存在正整數，使不等式恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在,.

【解析】

試題分析：(1)解法一:根據是與的等差中項,利用等差中項得到,當時有,-得:,從而可得數列通項；解法二:根據是與的等差中項,利用等差中項得到,根據該式的結構特征,利用構造法,可構造出等比數列,從而求得,進而利用得到數列的通項；(2)根據(1)的結論可知,數列是等比數列,所以可以得到其前項和,代入化簡,討論的奇偶發現,為奇數時,恒成立；為偶數時,可將其轉化為二次函數在固定區間恒成立問題,利用單調性可判斷是否存在這樣的正整數.

試題解析：（1）解法一：因為是6與的等差中項，

所以，即，

當時有

得，即對都成立

又根據有即，所以

所以.所以數列是首項為1，公比為的等比數列.

解法二：因為是6與的等差中項

所以，即，

由此得，

又，所以，

所以數列是以為首項，為公比的等比數列.

得，即，

所以，當時，，

又時，也適合上式，所以.

（2）根據（1）的結論可知，

數列是首項為1，公比為的等比數列，

所以其前項和為.

原問題等價于恒成立.

當為奇數時，不等式左邊恒為負數，右邊恒為正數，所以對任意正整數不等式恒成立；

當為偶數時，等價于恒成立，

令，有，則等價于在恒成立，

因為為正整數，二次函數的對稱軸顯然在軸左側，

所以當時，二次函數為增函數，故只須，解得，，所以存在符合要求的正整數，且最大值為11.