Question

【題目】已知函數在區間上有最大值0，最小值，

（1）求實數的值；

（2）若關于x的方程在上有解，求實數k的取值范圍；

（3）若，如果對任意都有，試求實數a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由二次函數性質可知在區間上單調遞增，從而得，解方程組求解即可；

（2）令，則，轉化為關于t的方程在區間上有解，記，由的范圍，可得，即可得解；

（3）分析條件可得恒成立，當時，顯然成立，當時，轉化為恒成立，即恒成立，從而轉化為求不等式中函數的最值，即可得解.

（1）因為，為開口向上的拋物線，對稱軸為

所以在區間上單調遞增，

所以 ，即，解得

（2）因為，得關于x的方程在上有解.

令，則，轉化為關于t的方程在區間上有解.

記，易證它在上單調遞增，

所以，即，解得.

（3）由條件得，因為對任意都有，即恒成立.

當時，顯然成立，

當時，轉化為恒成立，

即恒成立.

因為，得，所以當時，取得最大值是，得；

當時，取得最小值是，得

綜上可知，a的取值范圍是.