Question

【題目】已知函數，．

（1）討論函數的導函數的單調性；

（2）若函數在處取得極大值，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先求出，再對a分類討論求出函數的單調性；（2）由題得，再對a分類討論，根據函數在x=1處取得極大值，求出a的取值范圍.

（1）∵，∴，∴，

①當時，，∴函數在上單調遞增；

②當時，若，則；若，則，

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減．

綜上所述，當時．函數在上單調遞增，

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減．

（2）∵，∴．

①由（1）知，當時，在上單調遞增，

若，則；若，則，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴在處取得極小值；不合題意；

②當時，在上單調遞增，在上是單調遞減，∴，

∴在上單調遞減．∴無極值，不合題意；

③當時，，由（1）知，在上單調遞增，∵，

∴若，則；若，則，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴在處取得極小值，不合題意；

④當時，，由（1）知，在上單調遞減，∵，

∴若，則；若，則．

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴在處取得極大值，符合題意．

綜上所述，a的取值范圍是．