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精英家教網如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點．若PA=AD=3，CD=
6
．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求點F到平面PCE的距離；
（3）求直線FC平面PCE所成角的大�。�
分析：解法一：
（1）根據直線與平面平行的判定定理可知：需在平面PCE中尋找一條平行于AF的直線，平行主要依據中位線和中點條件，或者是特殊的四邊形，三角形等． 此題中取PC的中點G，連接EG，FG，又由F為PD中點，易證四邊形AEGF是平行四邊形．
（2）在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉化為求點到平面的距離．本題采用的是“找垂面法”：找（作）出一個過該點的平面與已知平面垂直，然后過該點作其交線的垂線，則得點到平面的垂線段．因為EG⊥平面PCD，所以平面PCD內，過F作FH⊥PC于H，由于平面PCD∩平面PCE=PC，則FH的長就是點F到平面PCE的距離．
（3）線面角大小的度量關鍵在于作出垂直于面的垂線，此題中由（2）可知：∠FCH為直線FC與平面PCE所成的角．
解法二：
分別以AB、AD、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，則A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（
6
2
，0，0），F（0，
3
2
，
3
2
），C（
6
，3，0），這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．
（1）取PC的中點G，連接EG，則(
6
2
，
3
2
，
3
2
)．，因為
AF
=(0，
3
2
，
3
2
)，
EG
=(0，
3
2
，
3
2
)，則
AF
∥
EG
，即AF∥EG．
（2）設平面PCE的法向量為
n
=(x，y，z)，
EP
=(-
6
2
，0，3)，
EC
=(
6
2
，3，0)．，可得：
n
=(
6，
-1，1)
（3）因為
FC
=(
6
，
3
2
，-
3
2
)，由向量的數量積運算可以求得：直線FC與平面PCE所成角的大�。�
解答：精英家教網解：法一：
（I）取PC的中點G，連接EG，FG，又由F為PD中點，
則FG∥
1
2
CD．
又由已知有AE∥
1
2
CD，∴FG∥AE．
∴四邊形AEGF是平行四邊形．
∴AF∥EG．又AF平面PCE，EG⊆平面PCE．
∴AF∥平面PCE；（5分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD
由ABCD是矩形有CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD
∴AF⊥CD，又PA=AD=3，F是PD的中點
∴AF⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
由EG∥AF，
∴EG⊥平面PCD
∴平面PCD內，過F作FH⊥PC于H
由于平面PCD∩平面PCE=PC，
則FH的長就是點F到平面PCE的距離（8分）
由已知可得PD=3
2
，PF=
3
2
2
，PC=2
6

由于CD⊥平面PAD
∴∠CPD=30°
∴FH=
1
2
PF=
3
4
2

∴點F到平面PCE的距離為
3
4
2
；（10分）
（III）由（II）知∠FCH為直線FC與平面PCE所成的角
.在Rt△CDF中，CD=
6
，FD=
3
2
2

∴FC=
CD2+FD2
=
42
2

∴sinFCH=
FH
FC
=
21
14
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∴直線FC與平面PCE所成角的大小為arcsin
21
14
．（14分）
法二：
如圖建立空間直角坐標系A-xyz
A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），
E（
6
2
，0，0），F（0，
3
2
，
3
2
），C（
6
，3，0）（2分）
（I）取PC的中點G，連接EG，
則(
6
2
，
3
2
，
3
2
)．∵
AF
=(0，
3
2
，
3
2
)，
EG
=(0，
3
2
，
3
2
)
∴
AF
∥
EG
即AF∥EG又AF平面PCE，EG⊆平面PCE
∴AF∥平面PCE．（6分）
（II）設平面PCE的法向量為
n
=(x，y，z)，
EP
=(-
6
2
，0，3)，
EC
=(
6
2
，3，0)．
n
•
EP
=0
n
•
EC
=0.
即
-
6
2
x+3z=0
6
2
x+3y=0.

取y=-1，得
n
=(
6，
-1，1)
又
PF
=(0，
3
2
，-
3
2
)故點F到平面PCE的距離為
d=
PF
•
n
|
n
|
=
|-
3
2
-
3
2
|
2
2
=
3
2
4
．（10分）
（III）
FC
=(
6
，
3
2
，-
3
2
)，
|cos＜
FC，
n
＞|=
|
FC
•
n
|
|
FC
|•|
n
|
=
3
21
2
×2
2
=
21
14
．
∴直線FC與平面PCE所成角的大小為arcsin
21
14
．（14分）
點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，線面關系、點到面的距離等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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