Question

設，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解法1：1≤f(－1)=a－b≤2，2≤f(1)=a＋b≤4． 兩式相加，得3≤2a≤6，∴． 又∵－2≤b－a≤－1，2≤b＋a≤4， ∴0≤2b≤3．∴． ∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0． ∴3≤f(－2)=4a－2b≤12． 解法2：由f(－1)=a－b，f(1)=a＋b， 得，． ∴f(－2)=4a－2b=f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2，∴3≤3f(－1)≤6． 又2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10．

提示：

比較上述兩種解法，所得結果分別為3≤f(－2)≤12與5≤f(－2)≤10．顯然結果不同，為什么呢？考慮條件1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，得到的是1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4這兩個結論，顯然a、b兩字母是相互聯系的整體而并不獨立存在著，如果確定出a、b的各自范圍，，那么0≤a－b≤3，，即0≤f(－1)≤3，，這與條件矛盾了！因此，解法1方法錯了，本題的答案應該是5≤f(－2)≤10． 總結本題，可知：如果條件是多個字母相關連(如和、差、積、商等)的范圍，在求解與這些字母有關代數式范圍時，我們利用整體代換的方式，把要求范圍的代數式用已知代數式表示，再利用不等式性質求解．這種整體思想要注意把握和運用． f(－1)=a－b，f(1)=a＋b，一方面，由條件知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，因此可確定字母a、b的范圍，進而求出f(－2)的范圍；另一方面，由f(－1)，f(1)可求出，，進而用f(－1)、f(1)表示出f(－2)，從而求出f(－2)的范圍，兩方面所求結論是否相同呢？如果不同，哪方面出現了問題？