(12分)在平面直角坐標系O
中,直線
與拋物線
=2
相交于A、B兩點.
(Ⅰ)求證:命題“如果直線過點T(3,0),那么
=3”是真命題;
(Ⅱ)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.
(1)見解析
(2)逆命題是:“設直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”該命題是假命題.
解析試題分析:(I)直線方程與拋物線方程聯立,消去x后利用韋達定理判斷=x1x2+y1y2=
的值是否為3,從而確定此命題是否為真命題.
(II)根據四種命題之間的關系寫出該命題的逆命題,然后再利用直線與拋物線的位置關系知識來判斷其真假.
證明:(1)解法一:設過點T(3,0)的直線l交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2).
當直線l的鈄率不存在時,直線l的方程為x=3,此時,直線l與拋物線相交于
A(3,)、B(3,-
),∴
=3.
當直線l的鈄率存在時,設直線l的方程為y=k(x-3),其中k≠0.得ky2-2y-6k=0,則y1y2=-6. 又∵x1=
y12, x2=
y22,
∴=x1x2+y1y2=
="3." 綜上所述, 命題“......”是真命題.
解法二:設直線l的方程為my=x-3與y2="2x" 聯立得到y2-2my-6=0 =x1x2+y1y2
=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9=3
(2)逆命題是:“設直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”該命題是假命題. 例如:取拋物線上的點A(2,2),B(
,1),此時
=3,
直線AB的方程為y= (x+1),而T(3,0)不在直線AB上.
考點:四種命題之間的關系,直線與拋物線的位置關系,向量的數量積.
點評:本小題本質是以四種命題的關系為知識載體主要考查直線與拋物線的位置關系.由拋物線y2=2x上的點A(x1,y1)、B(x2,y2)滿足,可得y1y2=-6.或y1y2=2,如果y1y2=-6,可證得直線AB過點(3,0);如果y1y2="2," 可證得直線AB過點(-1,0),而不過點(3,0).
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分) 已知均在橢圓
上,直線
分別過橢圓的左、右焦點
當
時,有
(1)求橢圓的方程
(2)設是橢圓
上的任一點,
為圓
的任一條直徑,求
的最大值
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的左,右焦點分別為
,過
的直線L與橢圓C相交 A,B于兩點,且直線L的傾斜角為
,點
到直線L的距離為
,
(1) 求橢圓C的焦距.(2)如果求橢圓C的方程.(12分)
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
雙曲線的離心率為2,坐標原點到直線AB的距離為
,其中A
,B
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若B1是雙曲線虛軸在軸正半軸上的端點,過B1作直線與雙曲線交于
兩點,求
時,直線
的方程.
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