Question

【題目】如圖，在中，，，，現沿的中位線將翻折至，使得二面角為.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由已知可得，進而證平面，即可證明結論；

（2）取中點，連，則，求與平面所成角即可，由（1）得平面平面，在平面內過作于，連，可得平面，為與平面所成的角，解即可，或建立空間直角坐標系，用向量法求解.

（1）因為，，所以，，

，所以平面，

平面，所以.

（2）解法一：取中點，在平面內過作于，

連接，由（1）可知，平面，∴平面平面，

∴平面，∴為與平面所成的角，

由（1）可知

為二面角的平面角，即，

且，∴，

∵，，

∴，

在中，，

在中，，

∵，∴直線與平面所成角的正弦值也為.

解法二：由（1）得平面，因為，所以平面，

以為原點，，分別為，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

所以，

設平面的法向量為，

由，即，，

令，則，所以，

設與平面所成角為，

則.

∴直線與平面所成角的正弦值也為.