Question

已知函數f(x)=x²-(a+2)x+alnx(a∈R)。
（Ⅰ）求函數f(x)的單調區間；
（Ⅱ）若a=4,y=f(x)的圖像與直線y=m有三個交點,求m的取值范圍。

Answer 1

（1）見解析；（2）(4ln2-8,-5).

本試題主要考查了導數在研究函數中的運用，求解函數圖像的交點問題的綜合問題。
解：（Ⅰ）函數f(x)=x²-(a+2)x+alnx的定義域為（0，+∞），
　　f＇(x)=2x-(a+2)+= = 
① 當a≤0時,f＇(x)≤0在(0,1]上恒成立,f＇(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，
∴a≤0時,f(x)的增區間為[1,+∞),f(x)的減區間為(0,1]。
② 當0<a<2時,f＇(x)≥0在(0, ]和[1,+∞)上恒成立,f＇(x)≤0在[ ,1]上恒成立.
∴0<a<2時，f(x)的增區間為(0, ]和[1,+∞),f(x)的減區間為[,1]．
③ a=2時,f＇(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴a=2時,f(x)的增區間為(0,+∞)．
④ a>2時,f＇(x)≥0在(0,1]和[,+∞)上恒成立,f＇(x)≤0在[1, ]上恒成立，
∴a>2時，f(x)的增區間為(0,1]和[,+∞),f(x)的減區間為[1, ]．
（Ⅱ）若a=4,由(Ⅰ)可得f(x)在(0,1]上單調遞增,在[1,2]上單調遞減,在[2,+∞)上單調遞增.
f(x)_極小值=f(2)=4ln2-8,      f(x)_極大值=f(1)=-5,
∴y=f(x)的圖像與直線y=m有三個交點時m的取值范圍是(4ln2-8,-5)。