Question

已知f（x）是二次函數，對任意x∈R都滿足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）如果函數y=f（x）的圖象恒在y=-x+m的圖象下方，求實數m的取值范圍；
（3）如果m∈[-1，1]時，不等式f（x）＞mx+1恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，可求a，b，c進而可求函數f（x）
（2）由題意-x²+2x+1＜-x+m在x∈R上恒成立，即m＞-x²+3x+′1在R上恒成立．令g（x）=-x²+3x+1，則只有m＞g（x）_max即可
（3）由m∈[-1，1]時，不等式f（x）＞mx+1恒成立，可得mx+x²-2x＜0在m∈[-1，1]上恒成立，令g（m）=mx+（x²-2x），結合一次函數的性質可得

g(-1)=x2-3x＜0 g(1)=x2-x＜0

，從而可求x的范圍

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），…..1 分
∵f（0）=1
∴c=1，…．（2分）
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1，
∴a=-1，b=2，…．（2分）
故f（x）=-x²+2x+1…．（1分）
（2）由題意-x²+2x+1＜-x+m在x∈R上恒成立，即m＞-x²+3x+′1在R上恒成立．
令g（x）=-x²+3x+1易知g（x）_max=g（

3

2

）=

13

4

，所以m＞

13

4

．…（4分）
說明：此題若直接用△做同樣得滿分．
（3）因為m∈[-1，1]時，不等式f（x）＞mx+1恒成立，
即mx+x²-2x＜0在m∈[-1，1]上恒成立．
令g（m）=mx+（x²-2x），
則由

g(-1)=x2-3x＜0 g(1)=x2-x＜0

∴0＜x＜1…．（4分）

點評：本題主要考查了利用待定系數法求解二次函數的解析式，二次函數的恒成立求解參數問題一般轉化為求解函數的最值，及利用轉化與化歸思想把所求二次函數轉化為關于m的一次函數進行求解