Question

【題目】已知拋物線（）的焦點，為坐標原點，，是拋物線上異于的兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線，的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）根據焦點坐標，即可求得以及拋物線方程；

（2）對直線的斜率進行討論，當斜率存在時，設直線方程，聯立拋物線方程，根據韋達定理，結合直線，的斜率之積為，找到直線之間的等量關系，從而證明問題.

（1）因為拋物線（）的焦點坐標為，

所以，即.

所以拋物線的方程為.

（2）證明：①當直線的斜率不存在時，

設，.

因為直線，的斜率之積為，

所以，化簡得.

所以，，

此時直線的方程為.

②當直線的斜率存在時，

設其方程為，，，

聯立方程組，消去得.

由根與系數的關系得，

因為直線，的斜率之積為，

所以，即.

即，

解得（舍去）或.

所以，即，

所以即

綜合①②可知，直線過定點.