Question

如圖所示高腳杯的軸截面是方程為x²=2py（p＞0）的拋物線，現放一半徑為r小球到高腳杯中，若小球能落到杯子底部，則小球的半徑r的取值范圍為

0＜r≤p

．

Answer 1

分析：設小球圓心（0，r），拋物線上點（x，y），求得點到球心距離r平方的表達式，進而根據r²最小值在（0，0）時取到，則小球觸及杯底，由此可得r的范圍．

解答：解：設小球圓心（0，r），拋物線上點（x，y）
則點（x，y）到圓心距離平方為：r²=x²+（y-r）²=2py+（y-r）²=y²+2（p-r）y+r²
若r²最小值在（0，0）時取到，則小球觸及杯底
故此二次函數的對稱軸位置應在y軸的左側，所以p-r≥0，所以r≤p，
所以0＜r≤p，
故答案為：0＜r≤p．

點評：本題考查拋物線的應用、圓與圓錐曲線的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．