Question

設f（x）為定義在R上的偶函數，當0≤x≤2時，y=x；當x＞2時，y=f（x）的圖象是頂點在P（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分：
（1）在下面的直角坐標系中直接畫出函數f（x）的圖象；
（2）求函數f（x）在（-∞，-2）上的解析式________；
（3）函數f（x）值域為________．

Answer 1

解：（1）由題意知：當0≤x≤2時，y=x；當x＞2時，y=-2（x+3）²+4，
先利用一次函數及二次函數的圖象畫出y軸右側的圖象，
再根據偶函數圖象的對稱性，得出圖象如圖所示…2分
（2）當x∈（-∞，-2）時，
∵y=f（x）的圖象時頂點在P（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分
∴解析式為f（x）=-2（x+3）²+4，…6分
（3）由（1）中函數圖象可知，函數的最大最大值為4，
故函數的值域為：（-∞，4]…8分．
分析：（1）由題意知，先利用一次函數及二次函數的圖象畫出y軸右側的圖象，再根據偶函數圖象的對稱性，得出整個圖象．
（2）當x∈（-∞，-2）時，y=f（x）的圖象時頂點在P（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分，利用拋物線的頂點式寫出其解析式即可．
（3）由（2）中函數圖象可知，函數的最大最大值為4，從而得出函數的值域．
點評：本題主要考查分段函數及函數的圖象、考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．