Question

正四面體ABCD的棱長為a，E、F分別是AD、BC的中點，
（1）求異面直線EF與CD所成的角；
（2）求D點到平面EBC的距離．

Answer 1

分析：（1）取AC的中點G，連接EG，FG，則∠GEF即為異面直線EF與CD所成的角，解三角形GEF，即可求出異面直線EF與CD所成的角；
（2）連接BE，CE，根據“等邊三角形三線合一”的性質，及線面垂直的判定定理，可得AD⊥平面BCE，則DE長即為D到平面EBC的距離．

解答：解：（1）取AC的中點G，連接EG，FG，
根據三角形的中位線定理，可得GE∥CD
則∠GEF即為異面直線EF與CD所成的角
∵正四面體ABCD的棱長為a，
∴GE=FG=

a

2

，EF=a
則∠GEF=

π

4

（2）連接BE，CE，
由于E是AD的中點，易得CE⊥AD，BE⊥AD
由BE∩CE=E，得AD⊥平面BCE
則D點到平面EBC的距離等于AD的一半，即

a

2

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，點到平面的距離，其中（1）的關鍵是求出異面直線的平面角，（2）的關鍵是求出D點到平面BCE的垂線段．