Question

已知點H(－3，0)，點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足·＝0，＝． (1) 當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C (2) 過點T(－1，0)作直線l與軌跡C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點E(x。，0)，使得△ABE為等邊三角形，求x0的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：設點M的坐標為(x，y)，由=－，得P(0，－)，Q(，0)． 　　由·=0得(3，－)·(x，y)=0，得y2=4x．由點Q在x軸的正半軸上，得x＞0． 　　所以，動點M的軌跡C是以(0，0)為頂點，(1，0)為焦點的拋物線(除去原點)．
(2)	設直線l：y=k(x＋1)，其中k≠0，代入y2=4x得k2x2＋2(k2－2)x十k2=0．�、� 　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1、x2是方程①的兩個實根． 　　所以x1＋x2=－，x1·x2=1． 　　則線段AB的中點坐標為(，)，線段AB的垂直平分線方程為y－=－(x－)． 　　令y=0，解得x0=＋1，所以點E的坐標為(＋1，0)． 　　因為△ABE為正三角形，所以點E(＋1，0)到直線AB的距離等于｜AB｜， 　　而｜AB｜= 　　　　　　=·， 　　所以=． 　　解得k=±，所以x0=．