Question

【題目】設數列滿足．

（1）求的通項公式；

（2）求數列的前項和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在中，將代得： ，由兩式作商得：，問題得解。

（2）利用（1）中結果求得，分組求和，再利用等差數列前項和公式及乘公比錯位相減法分別求和即可得解。

（1）由n＝1得，

因為，

當n≥2時，，

由兩式作商得：（n＞1且n∈N*），

又因為符合上式，

所以（n∈N*）．

（2）設，

則bn＝n＋n·2n，

所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋

設Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①

所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②

①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，

所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．

所以，

即．