Question

（本小題滿分14分）

已知函數f(x)=m(x－1)²－2x+3+lnx（m≥1）．

(Ⅰ)當時，求函數f(x)在區間[1，3]上的極小值；

（Ⅱ）求證：函數f(x)存在單調遞減區間[a，b]；

（Ⅲ）是否存在實數m，使曲線C：y=f(x)在點P（1，1）處的切線l與曲線C有且只有一個公共點？若存在，求出實數m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)（x>0）．

當時，，令，得x₁=2，x₂=．

f(x)，的變化情況如下表：

x	(0，)		（，2）	2	（2，+∞）
	+	0	－	0	+
f(x)	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以，當x＝2時，函數f(x)取到極小值，且極小值為f(2)=ln2－．………………………… 4分

（Ⅱ）令＝0，得mx²－(m+2)x+1=0．  （*）

因為△＝(m+2)²－4m=m²+4>0，所以方程（*）存在兩個不等實根，記為a，b（a<b）．

因為m≥1，所以

所以a>0，b>0，即方程（*）有兩個不等的正根，因此<0的解為（a，b）．

故函數f(x)存在單調遞減區間．………………………… 8分

（Ⅲ）因為，所以曲線C：y=f(x)在點P(1，1)處的切線l為y=－x+2．

若切線l與曲線C只有一個公共點，則方程m(x－1)²－2x+3+lnx=－x+2有且只有一個實根．

顯然x＝1是該方程的一個根．

令g(x)=m(x－1)²－x+1+lnx，則．

當m=1時，有≥0恒成立，所以g(x)在（0，+∞）上單調遞增，所以x＝1是方程的唯一解，m=1符合題意．

當m>1時，令＝0，得x₁=1，x₂=，則x₂∈（0，1），易得g(x)在x₁處取到極小值，在x₂處取到極大值．

所以g(x₂)>g(x₁)=0，又當x→0時，g(x)→－∞，所以函數g(x)在（0，）內也有一個解，即當m>1時，不合題意．

綜上，存在實數m，當m＝1時，曲線C：y=f(x)在點P（1，1）處的切線l與C有且只有一個公共點．……… 14分