Question

某汽車生產企業上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為（0＜＜1，則出廠價相應提高的比例為0.7，年銷售量也相應增加.已知年利潤=（每輛車的出廠價－每輛車的投入成本）×年銷售量.
（1）若年銷售量增加的比例為0.4，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例應在什么范圍內？
（2）年銷售量關于的函數為，則當為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

（1）；（2）當時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元．

試題分析：（1）由題意得：本年度每輛車的投入成本為10×（1+x）；
出廠價為13×（1+0.7x）；年銷售量為5000×（1+0.4x），     2分
因此本年度的利潤為

即：  6分
由，     得       8分
（2）本年度的利潤為

則         10分
由 
當是增函數；當是減函數.
∴當時，萬元，      12分
因為在（0，1）上只有一個極大值，所以它是最大值，       14分
所以當時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元．      16分
點評：研究數學模型，建立數學模型，進而借鑒數學模型，對提高解決實際問題的能力，以及提高數學素養都是十分重要的．建立模型的步驟可分為： (1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示； (2) 根據所給條件，運用數學知識，確定等量關系； (3) 寫出的解析式并指明定義域。