Question

【題目】(2016·桂林高二檢測)如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結論正確的是________.

(1)A′C⊥BD.(2)∠BA′C=90°.

(3)CA′與平面A′BD所成的角為30°.

(4)四面體A′-BCD的體積為.

Answer 1

【答案】(2)(4)

【解析】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，

則BD⊥平面A′CD，則BD⊥A′D，顯然不可能，故(1)錯誤.

因為BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，

所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正確.

因為平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，

所以CD⊥平面A′BD，CA′與平面A′BD所成的角為∠CA′D，

因為A′D=CD，

所以∠CA′D=，故(3)錯誤.

四面體A′-BCD的體積為V=S△BDA′·h=××1=，

因為AB=AD=1，DB=，

所以A′C⊥BD，綜上(2)(4)成立.

點睛:立體幾何中折疊問題,要注重折疊前后垂直關系的變化,不變的垂直關系是解決問題的關鍵條件.