Question

已知數列中，，，是數列的前項和，且，.
（1）求的值；
（2）求數列的通項公式；
（3）若 是數列的前項和，且對一切都成立，求實數取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ），.     （Ⅲ）      

，考查數列中的關系，，
裂項求和法，得因為對一切都成立，恒成立求實數的取值范圍時，一般分離參數，再在最值處成立即可
解：（Ⅰ）因為，，所以      ……..  3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ， 所以
所以所以
所以當時，
所以，，，，所以
所以，. 因為滿足上式，
所以，.                …………..  6分
（Ⅲ）當時，  ……………..  7分
又，      所以
              …………….. 9分
所以               …………..  10分
因為對一切都成立，
即對一切都成立.
所以.                        ………………..  12分
因為，當且僅當，即時等號成立.
所以. 所以   所以