Question

【題目】在數列{an}中，a1= ，且 =nan（n∈N+）．
（1）寫出此數列的前4項；
（2）歸納猜想{an}的通項公式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：a1= ，a2= ，a3= ，a4=
（2）解：猜想：an= ．

證明：①當n=1時，猜想顯然成立．

②假設n=k時猜想成立，即ak= ．

∵ =nan，∴ =（2n﹣1）an．

∴ ，

∴a1+a2+…+ak=（2k2+3k）ak+1，

又a1+a2+…+ak=（2k2﹣k）ak= ，

∴ak+1= = ，

∴當n=k+1時，猜想成立．

由①②可知，對一切n∈N+，都有an=

【解析】（1）根據遞推式，依次令n=2，3，4計算a2 ， a3 ， a4；（2）根據前4相猜想通項公式，驗證n=1時猜想成立，假設n=k時猜想成立，根據條件推導ak+1得出結論．
【考點精析】關于本題考查的歸納推理和數學歸納法的定義，需要了解根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能得出正確答案．