Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，A＝4.

(1)證明：；

(2)求二面角的余弦值大�。�

Answer 1

【答案】⑴見證明；⑵

【解析】

（1）根據AC，BC，CC1兩兩垂直，建立如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C﹣xyz，寫出要用的點的坐標，根據兩個向量的數量級等于0，證出兩條線段垂直．

（2）根據所給的兩個平面的法向量一個可以直接看出另一個設出根據數量級等于0，求出結果，根據兩個平面的法向量所成的角求出兩個平面所成的角．

∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC，BC，CC1兩兩垂直．

如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C﹣xyz，則C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）． …（2分）

證明：（1）∵=（﹣3，0，0），=（0，﹣4，4），

∴=0，

故AC⊥BC1…（4分）

解：（2）平面ABC的一個法向量為=（0，0，1），

設平面C1AB的一個法向量為=（x，y，z），

=（﹣3，0，4），=（﹣3，4，0），

由得：…（6分）

令x=4，則z=3，y=3則=（4，3，3）．…（7分）

故cos＜，＞==．

即二面角ABC的余弦值為.