Question

【題目】從中這個數中取個數組成遞增等差數列，所有可能的遞增等差數列這個數記為.

（1）當時，寫出所有可能的遞增等差數列及的值；

（2）求；

（3）求證:.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）通過列舉，可知符合要求的遞增等差數列為共個.所以；（2）由于，且，即有項，所以，故取，取個，歸納出個數；（3）由于，按照（2）的方法，求出的表達式，然后利用差比較法證明不等式.

試題解析：

（1） 符合要求的遞增等差數列為共個..

（2）設滿足條件的一個等差數列首項為，公差為的可能取值為.對于給定的

,當分別取時，可得遞增等差數列個（如: 時，，當分別取時，可得遞增等差數列個: ，其它同理）當取時，可得符合要求的等差數列個數為:.

（3）證明: 設等差數列首項為，公差為，記的整數部分是，則，即.的可能取值為,對于給定的, 當分別取時，可得遞增等差數列個.當取時，符合要求的等差數列個數.由題意.又,

.

. 即.