Question

設f（x）是定義在R上的函數，對任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），當x＞0時，有0＜f（x）＜1．
（1） 求證：f（0）=1，且當x＜0時，f（x）＞1；
（2） 證明：f（x）在R上單調遞減．

Answer 1

分析：（1）f（x+y）=f（x）•f（y）恒成立，考慮取x=1，y=0代入，結合條件x＞0時，有0＜f（x）＜1，
可求f（0）；x＜0時，-x＞0，根據已知條件可得1＞f（-x）＞0，而f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1?f(x)=

1

f(-x)

，從而可證
（2）要證函數在R上單調遞減?x₁＜x₂時有f（x₂）＜f（x₁），結合已知條件構造f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]，利用已知可證

解答：證明：（1）對任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因為x＞0時，有0＜f（x）＜1，所以f（1）＞0
所以 f（0）=1
當x＜0時，-x＞0，根據已知條件可得1＞f（-x）＞0，而f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1
f（x）=

1

f(-x)

＞1
（2）設x₁＜x₂則x₁-x₂＜0
根據（1）可知 f（x₁-x₂）＞1
因為f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂）
所以函數是單調遞減

點評：本題主要考查抽象函數的函數值的求解，函數的單調性的定義法證明，屬于中檔題，函數的單調性的證明實際是通過配湊來比較函數值的大小，注意構造的技巧在解題中的 應用．