Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為為實數），x∈R．
（1）若函數f（x）的最小值是f（-1）=0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，f（x）＞x+k在區間[-3，-1]上恒成立，試求k的取值范圍；
（3）若a＞0，f（x）為偶函數，實數m，n滿足mn＜0，m+n＞0，定義函數F（x）=，試判斷F（m）+F（n）值的正負，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知a-b+1=0，且-=-1，解得a=1，b=2，
∴函數f（x）的解析式是f（x）=x²+2x+1；
（2）在（1）的條件下，f（x）＞x+k，即k＜x²+x+1在區間[-3，-1]上恒成立，
由于函數y=x²+x+1在區間[-3，-1]上是減函數，且其最小值為1，
∴k的取值范圍為（-∞，1）；
（3）∵f（x）是偶函數，∴b=0，∴f（x）=ax²+1，
由mn＜0知m、n異號，不妨設m＞0，則n＜0，又由m+n＞0得m＞-n＞0，
F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-（an²+1）=a（m²-n²），
由m＞-n＞0得m²＞n²，又a＞0，得F（m）+F（n）＞0，
∴F（m）+F（n）的值為正．
分析：（1）由已知a-b+1=0，且-=-1，解二者聯立的方程求出a，b的值即可得到函數的解析式．
（2）將f（x）＞x+k，在區間[-3，-1]上恒成立，轉化成k＜x²+x+1在區間[-3，-1]上恒成立，問題變為求x²+x+1在區間
[-3，-1]上的最小值問題，求出其最小值，令k 小于其最小值即可解出所求的范圍．
（3）f（x）是偶函數，可得b=0，求得f（x）=ax²+1，由mn＜0，m+n＞0，可得m、n異號，設m＞0，則n＜0，故可得
m＞-n＞0，代入F（m）+F（n），化簡成關于m，n的代數式，由上述條件判斷其符號即可．
點評：本題考查了求解析式，恒成立問題求參數的范圍以及利用函數的性質判斷式的符號，覆蓋全面，技巧性強，主要訓練答題者的轉化計算能力．