Question

【題目】在直角坐標系中，傾斜角為的直線的參數方程為（為參數）.在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線交于，兩點，且，求直線的傾斜角.

Answer 1

【答案】（1） ； （2） 或.

【解析】

（1）根據平方關系消參數得直線的普通方程，根據得曲線的直角坐標方程（2）利用直線參數方程幾何意義求解.

（1）因為直線的參數方程為（為參數），

當時，直線的直角坐標方程為．

當時，直線的直角坐標方程為．

因為，

因為，所以．

所以的直角坐標方程為．

（2）解法1：曲線的直角坐標方程為，

將直線的參數方程代入曲線的方程整理，得．

因為，可設該方程的兩個根為，，

則 ，．

所以 ．

整理得，

故．

因為，所以或，

解得或

綜上所述，直線的傾斜角為或．

解法2：直線與圓交于，兩點，且，

故圓心到直線的距離．

①當時，直線的直角坐標方程為，符合題意．

②當時，直線的方程為．

所以，整理得．

解得．

綜上所述，直線的傾斜角為或．