Question

證明對于任意兩個向量a、b,都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

Answer 1

思路分析：由于不等式本身有明顯的幾何意義,故應選用向量的幾何意義進行證明.可根據向量a、b共線與不共線兩種情況討論.

證明：若a、b中有一個為零向量,則不等式顯然成立.

若a、b都不是零向量,記=a, =b,則=a+b.

(1)當a、b不共線時,如下圖(甲)所示,則有

|||-|||＜||＜||+||,即||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|.

　　　　

               (甲)　　　　　　　         　 (乙) 　　　　　　                　(丙)

(2)當a、b共線時,若a、b同向,如上圖(乙)所示,||=| |+||,

即|a+b|=|a|+|b|.

若a,b反向,如上圖(丙)所示,|| |-|||=||,

即||a|-|b||=|a+b|.

綜上,可知||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

深化升華 此不等式一般稱為三角不等式,它的幾何意義就是三角形中的任意一邊的長小于其他兩邊長的和且大于其他兩邊長的差的絕對值.