Question

（08年長沙市模擬理）（13分）已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=-1，S_n+1+2S_n=-1（），數列{bn}的通項公式為。

（1）求數列的通項公式；

    （2）是否存在圓心在x軸上的圓C及互不相等的正整數n、m、k，使得三點A_n(b_n,a_n)，A_m(b_m,a_m),A_k(b_k,a_k)落在圓C上？說明理由。

Answer 1

解析：解析：（1），

兩式相減得

又

，即數列是首項為-1，公比為-2的等比數列其通項公式是  4分

（2）不存在圓心在x軸上的圓C及互不相等的正整數n、m、k，使得三點A_n，A_m，A_k落在圓C上。  5分

假設存在圓心在x軸上的圓C及互不相等的正整數n、m、k，使得點三點A_n，A_m，A_k，即落在圓C上，不妨設n>m>k，設圓方程為：

x²+y²+Dx+F=0，從而9n²-24n+16+4^n-1+(3n-4)D+F=0①

9m²-24m+16+4^m-1+(3m+4)D+F=0，②

9k²-24k+16+4^k-1+（3k-4）D+F=0，③  7分

由①-②，②-③得：9(n+m)(n-m)-24(n-m)+(4^n-1-4^m-1)+3(n-m)D=0，

9(m+k)(m-k)-24(m-k)+(4^m-1-4^k-1)+3(m-k)D=0，

即④

，⑤

由④-⑤，得，

整理，得，

，

⑥   9分

設函數，

知函數是增函數

，與⑥式產生矛盾。

故不存在圓心在x軸上的圓C及互不相等的正整數n、m、k，使得三點An，A_m，A_k落在圓C上。