Question

【題目】設定義域為[0,1]的函數f(x)同時滿足以下三個條件時稱f(x)為“友誼函數”：

(1)對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；

(2)f(1)＝1；

(3)若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，則有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．

則下列判斷正確的序號為________．

①f(x)為“友誼函數”，則f(0)＝0；

②函數g(x)＝x在區間[0,1]上是“友誼函數”；

③若f(x)為“友誼函數”，且0≤x1<x2≤1，則f(x1)≤f(x2).

Answer 1

【答案】①②③

【解析】①∵f(x)為“友誼函數”，則取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0，又由f(0)≥0，得f(0)＝0，故①正確；

②g(x)＝x在[0,1]上滿足：(1)g(x)≥0；(2)g(1)＝1；若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，

則有g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝(x1＋x2)－(x1＋x2)＝0，

即g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，滿足(3)．故g(x)＝x滿足條件(1)(2)(3)，∴g(x)＝x為友誼函數，故②正確；

③∵0≤x1<x2≤1，∴0<x2－x1<1，

∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)，故有f(x1)≤f(x2)，故③正確．

故答案為：①②③.