Question

【題目】如下圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為， ，已知點和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設， 是橢圓上位于軸上方的兩點，且直線與直線平行， 與交于點，

（i）若，求直線的斜率；

（ii）求證： 是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值

【解析】試題分析： 根據橢圓的性質和已知和，都在橢圓上列式求解即可得到橢圓的方程；

①設直線的方程為，直線的方程為，與橢圓方程聯立，求出，根據已知條件，用待定系數法求解

②利用直線與平行，點在橢圓上知 ， ，由此可以求得是定值

解析：（1）由題設知， .由點在橢圓上，得.

解得，于是，又點在橢圓上，所以.

即，解得.因此，所求橢圓的方程是.

（2）由（1）知， ，又直線與平行，所以可設直線的方程為，直線的方程為.設， ， ， ，由得，解得.

故 ①

同理， ②

（i）由①②得 解得.

因為，故，所以直線的斜率為.

（ii）因為直線與平行，所以，于是，

故.由點在橢圓上知.

從而 .同理 ，因此 .

又由①②知， .

所以.因此是定值.