Question

設滿足以下兩個條件的有窮數列a₁，a₂，…a_n為n(n＝2，3，4…)階“期待數列”：

①a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝0；②|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|＝1．

(1)若等比數列{a_n}為2k(k∈N*)階“期待數列”，求公比q；

(2)若一個等差數列{a_n}既是2k(k∈N*)階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；

(3)記n階“期待數列”{a_i}的前k項和為S_k(k＝1，2，3，…n)：

(ⅰ)求證：；

(ⅱ)若存在m∈{1，2，3，…n}使，試問數列{S_i}能否為n階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)若，則由①＝0，得，

　　由②得或．

　　若，由①得，，得，不可能．

　　綜上所述，．

　　(2)設等差數列的公差為，＞0．

　　∵，∴，

　　∴，

　　∵＞0，由得，，

　　由題中的①、②得，

　　，

　　兩式相減得，，　∴，

　　又，得，

　　∴．

　　(3)記，，…，中非負項和為，負項和為，

　　則，，得，，

　　(ⅰ)，即．

　　(ⅱ)若存在使，由前面的證明過程知：

　　，，…，，，，…，，

　　且…．

　　記數列的前項和為，

　　則由(ⅰ)知，，

　　∴＝，而，

　　∴，從而，，

　　又…，

　　則，

　　∴，

　　與不能同時成立，

　　所以，對于有窮數列，若存在使，則數列和數列不能為階“期待數列”．